La teoría de nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de "nudo".
Al escuchar la palabra "nudo", vienen a nuestra mente imágenes como los cordones de unos zapatos, las sogas de los marineros e incluso recuerdos como el de una extensión eléctrica difícil de desanudar. Todas esas imágenes son ejemplos de nudos, que difieren muy poco del concepto matemático de nudo.
Nudos triviales. El primero puede ser deformado sin romper la cuerda hasta formar un ciclo simple sin entrecruzamientos. El de la derecha es un simple círculo, al que la Teoría de Nudos considera como el más simple, y a la izquierda el denominado Nudo Trébol (Imagen/composición 3D: Nakoto Yamashita).
Un nudo, una vez pegados sus extremos, se representa por una curva simple y cerrada; o de modo más amplio, por encajes o embebimientos (embeddings) de la circunferencia en diversos espacios topológicos ambiente.
En topología, la teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos. Aunque se inspira en nudos que aparecen en la vida cotidiana, como los de los cordones de los zapatos y las cuerdas, un nudo matemático difiere en que los extremos están unidos, por lo que no se puede deshacer, siendo el nudo más simple un anillo. En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en un espacio euclídeo tridimensional. Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación sobre sí mismo (lo que se conoce como una isotopía ambiental); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla o pasarla a través de sí| misma.
Ejemplos de diferentes nudos, incluyendo el nudo trivial (arriba a la izquierda) e inmediatamente debajo el nudo trébol (Imagen: Instituto de Matemática y Estatística, Universidad de São Paulo, Brasil).
Los nudos pueden describirse de varias maneras. Utilizando diferentes métodos de descripción, puede haber más de una descripción del mismo nudo. Por ejemplo, un método común para describir un nudo es un diagrama plano llamado diagrama de nudos, en el que cualquier nudo puede dibujarse de muchas formas diferentes. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo.
La motivación original de los fundadores de la teoría de nudos fue crear una tabla de nudos y ligaduras, que son nudos de varios componentes enredados entre sí. Existen más de seis mil millones de nudos y enlaces tabulados desde los comienzos de la teoría de nudos en el siglo XIX.
Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos pueden considerarse en otros espacios tridimensionales y pueden utilizarse objetos distintos de los círculos. Por ejemplo, un nudo de dimensión superior es una n-esfera dimensional incrustada en un espacio euclídeo (n+2)-dimensional, mencionado más arriba.
Un poco de historia
Los arqueólogos han descubierto que la práctica de los nudos se remonta a la prehistoria. Además de sus usos como grabar información y unir objetos, los nudos han interesado a los humanos por su estética y simbolismo espiritual. Los nudos aparecen en diversas obras de arte chinas que datan de varios siglos antes de Cristo. El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano, mientras que los anillos borromeo han hecho repetidas apariciones en diferentes culturas, a menudo representando la fuerza en la unidad. Los monjes Celtas que crearon el Libro de Kells prodigaron páginas enteras con intrincados nudos.
Esta página del Libro de Kells (folio 292) está ricamente decorada con, entre otras cosas, intrincados nudos.
Una teoría matemática de los nudos fue desarrollada por primera vez en 1771 por Alexandre-Théophile Vandermonde, quien señaló explícitamente la importancia de las características topológicas al discutir las propiedades de los nudos relacionadas con la geometría de la posición. Los estudios matemáticos de los nudos comenzaron en el siglo XIX con Carl Friedrich Gauss, que definió el Índice de ligazón. En la década de 1860, la teoría del vórtice del átomo de Lord Kelvin llevó a Peter Guthrie Tait a crear las primeras tablas de nudos para una clasificación completa. Tait, en 1885, publicó una tabla de nudos con hasta diez cruces, y lo que llegó a conocerse como las conjeturas de Tait. Este registro motivó a los primeros teóricos del nudo, pero la teoría del nudo acabó formando parte del tema emergente de la topología.
Peter Guthrie tait, el primer tabulador de nudos.
A finales de la década de 1970, William Thurston introdujo la geometría hiperbólica en el estudio de los nudos con la teorema de hiperbolización. Se demostró que muchos nudos eran nudos hiperbólicos, lo que permitió utilizar la geometría para definir nuevas y potentes invariantes de los nudos. El descubrimiento del polinomio de Jones por Vaughan Jones en 1984, y las contribuciones posteriores de Edward Witten, Maxim Kontsevich y otros, revelaron profundas conexiones entre la teoría de nudos y los métodos matemáticos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos. Desde entonces se ha inventado una plétora de invariantes de nudos, utilizando herramientas sofisticadas como los grupos cuánticos.
Al principio del siglo XX, junto con el desarrollo de la topología, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y Kurt Reidemeister investigaron los nudos.
Pero los desarrollos más importantes de esta teoría se han producido en la segunda parte del siglo XX, gracias a las contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman y muchos otros. Hoy en día, la teoría de nudos tiene aplicaciones en teoría de cuerdas, en la gravedad cuántica, en el estudio de replicación y recombinación del ADN, y en áreas de la mecánica.
Al principio del siglo XX, junto con el desarrollo de la topología, topólogos como Max Dehn, J. W. Alexander, y Kurt Reidemeister investigaron los nudos.
Pero los desarrollos más importantes de esta teoría se han producido en la segunda parte del siglo XX, gracias a las contribuciones de J.H.Conway, V.F.R.Jones, L.H. Kauffman y muchos otros. Hoy en día, la teoría de nudos tiene aplicaciones en teoría de cuerdas, en la gravedad cuántica, en el estudio de replicación y recombinación del ADN, y en áreas de la mecánica.
Para los interesados en este apasionante pero complejo tema, se recomienda la lectura de Introducción a la Teoría de Nudos, de Luping Wang Xiao (Universidad de Cantabria, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación). Para leer o descargar en formato PDF, hacé click aquí.