Si nos dicen que una prueba médica es fiable en un 99 %, asumimos
que un resultado positivo implica casi con total seguridad que,
por ejemplo, tenemos la enfermedad. Si reunimos a 25 personas en
una sala, pensamos que sería rarísimo que dos de ellas cumplieran
años el mismo día. Y, si avanzamos casillas en un tablero tirando
un dado, creemos que cuanto más lejos esté una casilla del inicio,
más probable será pasar por ella. En los tres casos, nuestra
intuición nos engaña.
Antigua versión del juego de la oca. Gabriel Guasp,
Palma, siglo XVII (Foto: Wikimedia Commons).
La probabilidad es uno de los ámbitos donde el sentido común falla
de forma más sistemática, no porque seamos poco inteligentes, sino
porque nuestra mente no está diseñada para manejar bien
combinaciones múltiples,
tasas
bases o
procesos
acumulativos. Tres ejemplos clásicos lo muestran con
claridad.
La paradoja de la oca: lo más probable es caer en la casilla 6
Imaginemos un
tablero infinito, sin casillas especiales. No
hay "de oca en oca", ni puentes, ni retrocesos. Empezamos en la
casilla 0 y en cada turno lanzamos un dado de seis caras y
avanzamos el número obtenido. La pregunta es sencilla:
¿cuál
es la probabilidad de caer en cada casilla del tablero? Para
llegar a la casilla 1 solo hay una posibilidad: sacar un 1.
Probabilidad de 1/6, aproximadamente 0,167 o
16,7 %. Para
llegar a la casilla 3 ya hay varias combinaciones posibles:
1+1+1,
2+1, 1+2, 3. Cuatro caminos distintos. Si sumamos sus
probabilidades, obtenemos aproximadamente 0,227 o
22,7 %.
A medida que aumentamos el número de casilla, la cantidad de
combinaciones posibles
crece muy rápidamente. Y aquí
aparece nuestra intuición: parecería lógico que, cuanto más lejos
esté una casilla, mayor sea la probabilidad de pasar por ella,
hasta que esa probabilidad se estabilice, es decir, alcance un
valor al que se acerca cada vez más y que apenas varía aunque
sigamos avanzando por el tablero.
Pero eso no es lo que ocurre.
El resultado sorprendente es que
la casilla más probable de
todo el tablero es la 6, y, dejando aparte las tres
primeras,
la menos probable es la 7.
Aparece así una
oscilación en las probabilidades que
disminuye hasta acabar estabilizándose en un valor concreto. En
términos matemáticos, estamos ante lo que se conoce como un
proceso de renovación.
Lo interesante es que no sólo podemos describir este
comportamiento inicial, poco intuitivo, sino también
calcular
exactamente el valor al que se estabiliza la probabilidad de
caer en casillas muy alejadas del origen. Y el resultado depende
únicamente del avance medio en cada tirada. Con un dado justo
avanzamos
3,5 casillas por turno, en promedio, por tanto,
la probabilidad límite se aproxima a
1/3,5≈0,29.
Probabilidad de caer en cada casilla del tablero
(Foto: composición The Conversation).
La intuición esperaba una
subida progresiva y suave. Las
matemáticas, en cambio, muestran
picos tempranos,
oscilaciones
inesperadas y una
estabilización final. Este choque
entre lo que "parece lógico" y lo que realmente ocurre no es
exclusivo de un tablero imaginario.
Nuestra mente está extraordinariamente bien adaptada para
sobrevivir, pero
no para razonar con probabilidades. En
algunos casos, ese error es sólo una curiosidad matemática. En
otros, puede cambiar por completo la forma en que interpretamos
una noticia médica.
La paradoja del falso positivo: 99 % no implica casi seguro
Imaginemos una enfermedad muy rara que afecta al
1 % de la
población. Existe una prueba diagnóstica con una
precisión
del 99 % que se aplica de forma sistemática a toda la
población. Es decir, detecta correctamente al 99 % de las personas
enfermas y sólo produce un
1 % de falsos positivos entre
las personas sanas. Si recibimos un resultado positivo, la
reacción casi automática es pensar: "
Tengo un 99 % de
probabilidades de estar enfermo".
Pero esa conclusión es
incorrecta.
Para entenderlo mejor, imaginemos 10.000 personas: 100 enfermas y
9.900 sanas. La prueba detecta
99 enfermos reales, pero
también genera
99 falsos positivos. En total, hay 198
positivos, de los cuales solo 99 están realmente enfermos. Así,
ante un resultado positivo, la probabilidad real de estar enfermo
es
99/198 = 0,5 (50 %).
La intuición interpreta el 99 % de precisión como "99 % de
probabilidad de enfermedad" e ignora la tasa base: si la
enfermedad es rara,
incluso una buena prueba produce muchos
falsos positivos. Este resultado es una consecuencia del
Teorema
de Bayes, pero lo importante no es la fórmula, sino
entender que
nuestra mente no integra de forma natural la
información contextual.
Veamos ahora un tercer error más sutil: infravalorar el número de
comparaciones que hacemos
sin ser conscientes de ello.
La paradoja del cumpleaños: 25 personas son suficientes
Supongamos que reunimos a 25 personas elegidas al azar. ¿Cuál
diríamos que es la probabilidad de que, al menos,
dos cumplan
años el mismo día? La mayoría de las personas responde con
cifras muy bajas. Veinticinco parecen pocas comparadas con los 365
días del año. Intuitivamente, "debería ser raro" que coincidan.
Sin embargo,
la probabilidad supera el 50 %.
El
error intuitivo consiste en
plantear mal la
pregunta. No estamos calculando la probabilidad de que
alguien comparta cumpleaños con una persona concreta. Estamos
preguntando si existe alguna coincidencia entre cualquier pareja
del grupo.
Con 25 personas, no hay 25 posibles comparaciones, sino
300
pares distintos. Cada nuevo integrante no añade una
posibilidad más, sino muchas nuevas combinaciones con todos los
anteriores. La forma correcta de calcular la probabilidad no es
estimar directamente las coincidencias, sino hacer lo contrario:
calcular
la probabilidad de que todos cumplan años en días distintos y
restarla de 1.
La primera persona puede cumplir años cualquier día. La segunda
puede hacerlo en cualquiera de los 364 días restantes. La tercera,
en 363 posibles. Y así sucesivamente. La probabilidad de que los
25 cumplan años en días distintos es:
(365/365)×(364/365)×(363/365)×…×(341/365).
Ese producto
disminuye más deprisa de lo que nuestra intuición
anticipa. Al restarlo de 1, obtenemos una probabilidad
superior al 50 % de que haya,
al menos, una coincidencia.
Probabilidad de que, en un grupo de personas al
azar, haya al menos dos que cumplan años el mismo día (Foto:
composición The Conversation).
De nuevo,
el sentido común falla. No porque el problema sea
complicado, sino porque nuestra mente no percibe de forma natural
cómo crecen las combinaciones posibles.
Un mismo patrón, tres escenarios distintos
En los tres casos, aparece el mismo fenómeno:
simplificamos
estructuras probabilísticas complejas. En el juego de la oca
no vemos cómo se distribuyen los caminos; en la prueba
médica,
ignoramos la frecuencia base y, en los
cumpleaños,
subestimamos las comparaciones.
Las matemáticas no contradicen el sentido común por capricho, sino
que muestran que, aunque sea útil a diario, nuestra intuición no
siempre está preparada para la complejidad del azar. Por eso, la
probabilidad resulta fascinante y nos recuerda que
el mundo no
siempre funciona como parece.
(Fuente: The Conversation / redacción propia).
